第四次翻转课堂草稿

思考题

（1）什么是周期因子？如何求周期信号的拉氏变换？

$f(t)$ $T$ $f_1(t) \lt F_1(s)$ ，则

\begin{aligned} f (t) & = f_{1} (t) + f_{1} (t - T) u (t - T) + f_{1} (t - 2 T) u (t - 2 T) \\ \overset{L}{\leftrightarrow} F_{1} (s) + F_{1} (s) e^{- s T} + F_{1} (s) e^{- 2 s T} + \dots = \frac{F_{1} (s)}{1 - e^{- s T}} . \end{aligned}

$\dfrac{1}{1 - \e^{-sT}}$ 称为周期因子.

（2）如何求抽样信号的拉氏变换？

思路一

f (t) δ_{T_{s}} (t) = f (t) \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T_{s}) \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{F (s)}{2 π j} * \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- s \cdot n T_{s}} .

思路二

\begin{aligned} f (t) δ_{T_{s}} (t) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} f (n T_{s}) δ (t - n T_{s}) \overset{L}{\leftrightarrow} \sum_{n = 0}^{\infty} f (n T_{s}) e^{- s \cdot n T_{s}} . \end{aligned}

思路三

f (t) δ_{T_{s}} (t) = f (t) \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{e^{- j n ω_{s} t}}{T_{s}} \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{F (s)}{2 π j \cdot T_{s}} * \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{s + j n ω_{s}} .

思路四

f (t) δ_{T_{s}} (t) \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{F (s)}{2 π j} * L [δ_{T_{s}} (t)] = \frac{F (s)}{2 π j} * \frac{1}{1 - e^{- s t}} .

以上四种形式是等价的.

$\Sa(t)$ 的话...

法一：幂级数展开

法二：频域积分

$\Sa(t) u(t) \ft \dfrac{\pi}{2} - \j \arth(\omega)$ .

$\Sa(t) \lt \arccot(s)$ .

（3）频移性质中的s0可以取实数吗？

可以，实际上

\forall s_{0} \in C : f (t) e^{s_{0} t} \overset{L}{\leftrightarrow} \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- (s - s_{0}) t} d t = F (s - s_{0}) .

（4）拉式变换的微分性质为系统的分析和计算带来哪些便利？为什么？

便于求解拉氏变换，如
$L_{n} (t) := \frac{e^{t}}{n!} \frac{d^{n}}{d t^{n}} (t^{n} e^{- t}) \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{(s - 1)^{n}}{s^{n + 1}} .$
系统可用微分方程描述，拉氏变换的微分性质使得我们可以直接对微分方程两端做拉氏变换，从而方便地求出象函数，进而得到原函数. 具体而言，我们用到了如下的性质（其中频域微分也常用于时域的方程）
1. $f^{(n)}(t) \lt s^n F(s) - s^{n-1} f(0_-) - s^{n-2} f'(0_-) - \cdots - f^{(n-1)}(0_-)$ .
  - $f'(t) \lt s F(s) - f(0_-)$ .
  - $f''(t) \lt s^2 F(s) - s f(0_-) - f'(0_-)$ .
2. $t^n f(t) \lt (-1)^n F^{(n)}(s)$ .
  - $tf(t) \lt -F(s)$ .
  - $t f'(t) \lt -s F'(s) - F(s)$ .
  - $tf''(t) \lt -s^2 F'(s) - 2 s F(s) + f(0)$ .
3. $f^{(-n)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s^n} + \dfrac{f^{(-2)}(0_-)}{s^{n-1}} + \cdots + \dfrac{f^{(-n)}(0_-)}{s}$ .
  - $f^{(-1)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s}$ .
  - $f^{(-2)}(t) \lt \dfrac{F(s) + f^{(-1)}(0_-)}{s^2} + \dfrac{f^{-2}(0_-)}{s}$ .

（5）当信号中含有冲激及其各阶导数时如何计算其初值？

如果已知信号原函数，则直接代值；
$f(0_+) = \clim s s F(s)$ .

（6）终值定理应用的条件是什么？

$f(t)$ $F(s)$ $s$ 左半平面内（包括在原点处的单极点），则

f (+ \infty) = lim_{s \to 0} s F (s) .

（7）如何用部分分式法求解拉氏变换的逆变换？

略.

（8）若象函数为非真分式，则原函数中会出现什么类型信号？

$\delta^{(n)}(t) \lt s^n$ .

练习题

2.1

思路一：欧拉公式 + 频移性质.

思路二：傅里叶变换 + 关系式.

e^{- α t} \cos (ω_{0} t) \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{s + α}{(s + α)^{2} + ω_{0}^{2}} .

2.2

$f(t) = 1$ $f(0_+) = 1$ .

$f(0_+) = \clim s s F(s) = 1$ .

备注 $f(t) = u(t)$ 都是可以的，小于零的值不重要.

2.3

$f(0_+) = \clim s F(s) = +\infty$ .

$f(t) = 2 \delta(t) - 2 \e^{-t}$ $f(0_+) = +\infty$ .

2.4

\begin{aligned} F (s) & = \frac{2 s^{2} + 3 s + 3}{(s + 1) (s + 2) (s + 3)} \\ = \frac{1}{s + 1} - \frac{5}{s + 2} + \frac{6}{s + 3} \\ \overset{L}{\leftrightarrow} e^{- t} - 5 e^{- 2 t} + 6 e^{- 3 t} . \end{aligned}

2.5

\begin{aligned} F (s) & = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{(s + 2)^{2} + 2^{2}} \overset{L}{\leftrightarrow} e^{- t} - \frac{\sin 2 t}{2} e^{- 2 t} . \end{aligned}

建议：根值代入法、极限法、特值代入法.（计算量小）

2.6

\begin{array}{r} F (s) = \frac{4}{s + 2} + \frac{1}{(s + 1)^{2}} - \frac{3}{s + 1} \overset{L}{\leftrightarrow} 4 e^{- 2 t} + t e^{- t} - 3 e^{- t} . \end{array}

建议：根值代入法 + 特值代入法.

2.7

\begin{aligned} F (s) & = s + 2 + \frac{2 s^{2} + 3 s + 3}{(s + 1) (s + 2) (s + 3)} \\ \overset{L}{\leftrightarrow} δ^{'} (t) + 2 δ (t) + e^{- t} - 5 e^{- 2 t} + 6 e^{- 3 t} . \end{aligned}

2.8

G (s) = \frac{(s + 1) - 1}{(s + 1)^{2} + 2^{2}} e^{- 2 s} \overset{L}{\leftrightarrow} [\cos (2 t - 4) - \frac{1}{2} \sin (2 t - 4)] e^{- (t - 2)} u (t - 2) .


x
1
(* 2.1 *)
2
LaplaceTransform[E^(-\[Alpha] t) Cos[Subscript[\[Omega], 0] t], t, s]
3

4
(* 2.2 *)
5
InverseLaplaceTransform[1/s, s, t]
6

7
(* 2.3 *)
8
InverseLaplaceTransform[(2 s)/(s + 1), s, t]
9

10
(* 2.4 *)
11
InverseLaplaceTransform[
12
    (2 s^2 + 3 s + 3)/(s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6), s, t
13
] // Expand
14

15
(* 2.5 *)
16
InverseLaplaceTransform[
17
    (s^2 + 3 s + 7)/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8)), s, t
18
]
19
Apart[(s^2 + 3 s + 7)/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8))]
20

21
(* 2.6 *)
22
InverseLaplaceTransform[
23
    s^2/((s + 2) (s + 1)^2), s, t
24
] // Expand
25

26
(* 2.7 *)
27
InverseLaplaceTransform[
28
    (s^4 + 8 s^3 + 25 s^2 + 31 s + 15)/(s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6), s, t
29
] // Expand
30

31
(* 2.8 *)
32
InverseLaplaceTransform[
33
    (s E^(-2 s))/(s^2 + 2 s + 5), s, t
34
] // ExpToTrig // Simplify